미분가능한 두함수 y=f(u) , u=g(x)에 대하여 합성함수 y=f(g(x))의 도함수는 위와 같은 식이 성립한다. 합성함수의 미분법은 n차 함수의 미분은 물론 지수함수와 로그함수의 도함수를 구할 때 사용되기 때문에 미적분 문제풀이에 있어서 굉장히 유용하다. 이러한 법칙이 어떻게 성립하는지를 알기 위해서는 라이프니츠의 '미적분 기호의 정립'과 '연쇄법칙'를 이해하는 것이 중요하다.

라이프니츠는 합들(sums)을 구하는 과정의 연구에서 출발해서 ʃy 의 기호로 표시하였다. (ʃ는 S자를 길이로 늘린 것) 적분 기호 ʃ 의 규칙성을 찾기 위해서, 역의 과정에는 기호 d를 도입했는데 이것은 미분을 발견하기 위한 것이다. 라이프니츠의 기호는 기호학적으로 상당히 큰 의미를 갖는다. dy/dx라는 분수꼴 기호는 미분을 다룸에 있어 분수연산을 도입할 수 있다는 의미를 내포함으로 dy/dx=1이라는 의미를 시작으로 합성함수의 미분의 연쇄율이나 역함수의 미분, 연쇄법칙 등을 떠올리게 한다.

y는 x의 함수이고, x는 t의 함수라고 가정했을 때, y는 t의 함수라고 할 수 있으며 위와 같은 식이 성립한다. 이를 연쇄법칙이라고 한다.  예를 들어 y= (5t+2)*8 일 때, 이 함수를 좀 더 쉽게 미분하기위해 5t+2=x로 치환하여 y=x*8으로 바꿔쓴다.  그러면 dy/dx=8x*7 이고 dx/dt=5 이므로, 연쇄법칙에 따라 dy/dt=40x*7=40(5t+2)*7를 얻을 수 있다. (*n은 n제곱을 의미함)

 -출처 : 데이비드 애치슨. (2020). 이해하는 미적분 수업. Bada Publishing.

이러한 연쇄법칙을 증명하자면, 합성함수 y=f(g(x)) 에서 두 함수 y=f(u) , u=g(x)가 각각 미분 가능할 때 x의 증분 Δx에 대한 u의 증분을 Δu라 하고, Δu에 대한 y의 증분을 Δy라고 하면 Δy/Δx = Δy/Δu Δu/Δx (단, Δu는 0이 아닐 때)가 성립한다. 우변에 Δu가 분모에도 있고 분자에도 있어서 약분하면 좌변과 같다. 이런 행동을 통해 합성함수의 미분법인 연쇄 법칙을 나타낼 수 있다. 두 함수 y=f(u) , u=g(x)가 미분가능하므로 lim (Δu->0)Δy/Δu = dy/du, lim(Δx->0) Δu/Δx = du/dx이다. 이 때, u=g(x)가 미분가능한 함수이므로 연속함수이다. 따라서 Δx->0 이면 Δu->0이다. 결국 dy/dx = lim(Δx->0) Δy/Δx = lim(Δx->0) ΔyΔu ΔuΔx = dy/du du/dx 임을 알 수 있다. 

∴ dy/dx = dy/du du/dx = f'(u) g'(x)이므로 y' = f'(g(x))g'(x)이다.

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